[고1 고등수학하] 4. 함수

가장 어려우면서도 가장 중요한 단원 함수입니다.

미적분의 토대가 되는 단원이기 때문에 개념을 꼼꼼하게 알아두는 것이 좋습니다.

 

새로운 용어가 많기 때문에 용어에 익숙해지는 것도 중요합니다.

 

알아둬야 할 용어들!

함수, 대응, 정의역, 공역, 치역, 서로 같은 함수, 함수의 그래프,

일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 합성함수, 역함수.

 

용어를 충분히 숙지하고 개념을 잘 정리한 후에

합성함수 구하기, 역함수 구하기, 그래프 그려보기를 하면

단원에 대한 공부가 충분히 될 것입니다.

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함수가 뭔가요?

함수란 x가 하나일 때 y가 하나로 정해지는 것입니다.

 

함수라는 이름은 한자로 함수(函數)라고 쓰는데,

함(函)은 상자라는 뜻입니다. x가 상자로 들어가서 나온 y를 생각하면 됩니다.

(초등학교 때 이렇게 배우죠?)

영어로는 함수(function)이라고 쓰는데, 기능이라는 의미를 갖고 있습니다.

x를 y로 변화시키는 기능이라고 생각하셔도 됩니다.

(참고로 키보드에 f1, f2, ... 의 f도 function의 약자입니다.)

 

이 때 x와 y가 짝지어진 것을 대응이라고 부릅니다.

예를 들어 '국가와 도시'라는 함수에서 대한민국에 대응되는 것은 서울이 되겠죠.

 

함수를 표현하는 방법?

함수를 표현하는 방법은 크게 3가지가 있습니다.

다 똑같은 표현이니 자유롭게 섞어서 사용할 수 있도록 연습해야 합니다.

1. x=a 일 때, y=b

2. y=f(x), b=f(a)

3. (x, y)=(a, b)

셋 다 같은 뜻입니다.

1번은 주로 문제나 긴 글에서 사용이 되고, 2번은 수식이나 계산할 때,

3번은 그래프에서 사용이 되는 편입니다.

 

(도시)=f(국가) 이것도 함수라 할 수 있습니다.

베이징=f(중국), (일본,도쿄), x=(대한민국) 일 때, y=(서울)

이렇게 사용하면 됩니다.

 

중학교 때 배운 일차함수로 예를 들어봅시다.

f(x)=3x+2라는 표현과 y=3x+2라는 표현은 같은 표현입니다.

f(1)=5, (1, 5), x=1일 때 y=5 이렇게 3가지가 모두 같은 표현이고요.

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정의역 공역 치역 서로같은함수!

함수에서 정의역, 공역, 치역, 서로 같은 함수, 그래프를 알아보겠습니다.

정의역이란 x들! x들을 모아놓은 집합입니다.

공역은 y들! y들을 모아놓은 집합입니다.

치역은 함숫값들! x에 대응된 y들만 모아놓은 집합입니다.

(중요한 부분이기 때문에 이해가 잘 안가면 선생님께 질문합시다!)

 

서로 같은 함수란 함수를 처음 배우는 여러분이 상상하는 그것은 아닙니다.

정의역과 공역이 같고 대응된 순서쌍이 모두 같으면 서로 같은 함수입니다.

(예전에는 상등이라고 했는데, 용어가 길어져서 오히려 불편하네요)

 

예를 들면 다음과 같습니다.

정의역 X={1, -1}, 공역 Y={-1, 0, 1}에서 f(x)=x²이라는 함수와 g(x)=|x|라는 함수가 주어졌다면

f(x)는 (1, 1), (-1, 1)

g(x)는 (1, 1), (-1, 1)

에 대응되기 때문에

모든 f(x)=g(x)가 되어 둘은 서로 같은 함수입니다.

 

함수의 그래프는 좌표 평면에 함수를 만족하는 순서쌍을 좌표로 하는 점을 표현한 그림입니다.

(일차함수, 이차함수, 절댓값 기호가 포함된 함수, 가우스 기호가 포함된 함수를 그릴 수 있어야 합니다!)

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여러가지 함수들!

여러 가지 함수들을 알아보겠습니다.

이 단원에서 설명하는 여러 가지 함수에는 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수가 있습니다.

 

일대일함수는 x₁≠x₂ 이면 f(x₁)≠f(x₂)인 함수입니다.

일대일대응은 일대일 함수이면서 치역과 공역이 같은 함수입니다.

(일대일대응은 역함수의 존재 조건이기 때문에 매우 중요합니다!)

항등함수는 정의역 X의 모든 원소가 각각 자기자신과 대응하는 함수입니다. f(x)=x, y=x

상수함수는 정의역 X의 모든 원소가 하나의 원소에대응하는 함수입니다. f(x)=(상수), y=3

 

그런데, 이건 글보다 그림이 이해하기에 훨씬 좋습니다.

여러 가지 함수

 

(일대일 함수는 예전에 단사함수라고 하던 시절이 있었죠. 일대일 대응은 전단사함수)

 

f(x)=(일차식)인 경우 일차함수라 합니다.

f(x)=(이차식)인 경우 이차함수라 합니다.

f(x)=(상수)는 그래서 상수함수인 모양입니다.

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합성함수와 역함수

합성함수는 함수 f: X→Y와 함수 g:Y→Z가 주어질 때, x에 g(f(x))를 대응시키는 함수로

g∘f(x) 또는 g(f(x))로 나타냅니다.

 

역함수는 함수 f: X→Y가 일대일대응일 때 y에 f(x)=y인 x를 대응시키는 함수로 f^-1(x)로 나타냅니다.

 

합성함수와 역함수는 글보다 그림이 이해가 편합니다.

합성함수는 교환법칙이 성립하지 않습니다. f∘g≠g∘f (중요합니다!)

합성함수는 결합법칙이 성립합니다.

항등함수의 합성은 ×1(곱하기 1)과 비슷한 의미를 갖습니다. (이해가 안간다면 선생님께 질문합시다.)

 

역함수의 역함수는 원래함수입니다. (f^-1)^-1=f

함수와 그의 역함수를 합성하면 항등함수가 됩니다. f∘f^-1=x

합성함수의 역함수는 괄호를 풀면 앞뒤가 바뀝니다! (f∘g)^-1=g^-1∘f^-1

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절댓값 기호와 가우스 기호가 포함된 함수!

절댓값 기호가 포함된 함수의 그래프와 가우스 기호가 포함된 함수의 그래프는 중요합니다.

특히 상위권일수록 변별력을 가르는 문제가 되기 때문에 연습을 많이 해두는 것이 좋습니다.

 

글로 표현하는 것은 오히려 어려워 보일 수 있기 때문에

그래프 그리는 것이 어렵다면 반드시 선생님께 질문하거나 영상을 보시기 바랍니다.

절댓값 기호가 포함된 함수와 가우스 기호가 포함된 함수의 그래프

그래프를 그리는 연습은 많이 해야 합니다.

함수는! 수학의 밑바탕입니다. 열심히 합시다!