[고2/고3 수학2] 9. 정적분의 활용
이제 여러분은 부정적분과 정적분을 배웠습니다.
어떤 부분에서 활용이 되는지 알아보도록 하겠습니다.
이 단원의 핵심은 단 두가지!
넓이와 거리입니다.
정적분과 넓이의 관계는 구분구적법을 통해 증명해야하지만,
이 과정은 미적분이라는 책에서 배우게 됩니다.
따라서, 지금은 그냥 그런가부다~ 하고 받아들이시면 됩니다.
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f(x)≥0일 때,
곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는
다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
y=f(x)가 0보다 작거나, x축의 위아래로 걸쳐 있는 경우에는 절댔값을 이용합니다.
조금 더 쉽게 이야기 하자면,
x축 위쪽에 있는 함수의 넓이는 a에서 b까지 적분하면 되고,
x축 아래쪽에 있는 함수의 넓이는 a에서 b까지 적분한 후 -를 붙여주면 되는겁니다.
두 곡선 사이의 넓이도 큰 차이는 없습니다. 쉽게 생각하시면 됩니다.
두 함수 f(x), g(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때,
두 곡선 y=f(x)와 y=g(x), x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
쉽게 이야기 하면,
적분을 하는데, 위쪽의 함수에서 아래쪽 함수를 뺀 식을 적분하면 되는 겁니다.
그림으로 살펴보면 더욱 편리합니다.
적분은 미분의 역연산이기 때문에
미분에서 배운 위치, 속도, 가속도와
여기에서 배우는 위치, 속도, 가속도는 큰 차이가 없습니다.
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t)이고
시각 t0에서의 점 P의 위치를 x0라 하면
시각 t에서 점 P의 위치 x는 다음과 같습니다.
시각 t=a에서 t=b까지 점 P의 위치 변화량은 다음과 같습니다.
시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는 다음과 같습니다.
식으로 이해하기에는 다소 불편하기 때문에,
다음 그림과 같이 이해하면 편리합니다.
문제는 다음 기회에 풀어보도록 하겠습니다.
정적분의 활용을 끝으로 수학2가 마무리 되었습니다.
수학2는
함수의 극한을 이해하고
극한을 바탕으로 연속을 이해하고
연속을 바탕으로 미분을 이해하고
미분을 활용해보고
미분의 역연산인 적분을 이해하고
적분을 활요하는
책이었습니다.
공부하느라 수고 많으셨습니다!