고등수학(하)에서 순열과 조합을 충분히 공부했다면,
확률과 통계의 1단원인 순열은 어렵지 않습니다.
이 단원을 공부하기 위해서는
고등수학(하)에서 배운 순열 (nPr)과 계승(n!), 조합(nCr)을 적당히 다룰 줄 아는 상태여야 합니다.
이 단원의 시작은 순열의 업그레이드 버전인 원순열부터 시작합니다.
순열은 서로 다른 n개 중 r개를 순서대로 나열하는 방법의 수입니다.
원순열은 서로 다른 n개 중 r개를 원모양으로 순서대로 나열하는 방법의 수 입니다.
원모양, 원탁 등에 나열하게 되면 같아지는 경우가 생기게 됩니다.
이 네가지가 똑같은 경우가 됩니다.
서로 다른 4개의 문자 A, B, C, D를 일렬로 나열하는 방법은 4×3×2×1로 24가지인데,
이를 원모양으로 나열하게 되면 4가지씩 같아져서 24÷4=6가지가 됩니다.
그렇다면,
서로 다른 n개를 원모양으로 나열하는 방법은!
이 공식으로 원순열을 손쉽게 구할 수 있습니다.
중복순열은 서로 다른 n개 중 중복을 허락하여 r개를 나열하는 방법의 수입니다.
예를 들어 A, B, C 세 개의 문자를 나열한다면
AAA AAB AAC ABA ABB ABC ACA ACB ACC
BAA BAB BAC BBA BBB BBC BCA BCB BCC
CAA CAB CAC CBA CBB CBC CCA CCB CCC
이렇게 27가지가 될 것입니다.
간단히 구하려면 다음과 같은 공식을 사용합니다.
위의 예를 공식으로 푼다면
으로 27이 쉽게 구해집니다.
같은 것을 포함하는 순열은 n개 중 서로 같은 것이 p개, q개, r개씩 있을 때,
n개를 일렬로 나열하는 방법의 수 입니다.
예를 들어 A, B, B, C, C, C를 일렬로 나열하는 방법은
ABBCCC ABCCCB ABCCBC ....
이런식으로 배열할 수 있는데,
우선 ABCDEF 6개의 숫자를 일렬로 나열하는 방법을 생각해봐야 합니다.
6!=720이겠죠?
그런데 B와 C가 같다면 둘의 자리가 바뀌어도 같아지니까 2로 나누면 됩니다.
같은 방법으로 D, E, F, 같다면 셋의 자리가 바뀌어도 같아지니까
세 문자를 일렬로 배열하는 방법의 수인 3×2×1=6으로 나누어야 합니다.
따라서 A, B, B, C, C, C를 일렬로 나열하는 방법은
다음과 같습니다.
따라서,
같은 것을 포함하는 순열은 n개 중 서로 같은 것이 p개, q개, r개씩 있을 때,
n개를 일렬로 나열하는 방법의 수를 공식으로 만들면 다음과 같습니다.
중복조합은 서로 다른 n개 중 중복을 허락하여 r개를 뽑는 방법의 수입니다.
예를 들어 A, B, C 세 개의 문자 중 중복을 허락하여 2개의 문자를 뽑는다면
AA AB AC BB BC CC
이렇게 6가지가 됩니다.
간단히 구하려면 다음과 같은 공식을 사용합니다.
위의 예를 공식으로 푼다면
로 6이 쉽게 구해집니다.
중복조합에서는 예문을 하나 암기해두는 것이 좋습니다.
예) 다음 방정식에서 음이 아닌 정수해의 개수를 a, 양의 정수해의 개수를 b라 할 때, a+b의 값을 구하여라.
이 문제는 퀴즈로 낼테니 댓글에 정답이나 질문을 달아주시기 바랍니다.
오늘도 공부하느라 수고 많으셨습니다.
행복하고 건강하고 즐거운 하루 됩시다!
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