[중2-1 수학] 1. 유리수와 소수

유리수와 소수를 배워보겠습니다.

 

이 단원의 목표는 용어의 개념을 정확히 알고,

다음 세 가지를 할 수 있으면 됩니다.

 

1. 분수를 보고 유한소수인지 순환소수인지 구분하기.

2. 분수를 소수로 고치기

3. 유한소수를 분수로 빠르게 고치기

4. 순환소수를 분수로 빠르게 고치기

 

알아야하는 용어는

유리수, 유한소수, 무한소수, 순환소수, 순환마디입니다.

 

용어를 알면 건너 뛰면 됩니다.

용어를 살펴 볼께요.

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우리가 배운 수 중에서 1, 2, 3, ... 이런 수들을 자연수라고 합니다.

자연수와 0, 음의 정수를 통틀어 정수라고 하죠.

 

정수와 정수가 아닌 유리수를 통틀어 유리수라고 하는데요,

정수가 아닌 유리수에는 분수, 소수 등이 있습니다.

 

분수에는 가분수, 진분수, 대분수, 기약분수, 단위분수, 번분수, 부분분수등이 있는데,

그건 다음 기회에 배우도록 하구요.

 

아! 퀴즈 낼께요.

 

퀴즈1) 다음 수는 가분수, 진분수 중 무엇일까요?

 

퀴즈2) 자연수와 양의 정수는 무슨 차이가 있을까요?

 

정답은 끝에서 공개하겠습니다.

 

소수에는 유한소수와 순환소수가 있습니다.

유한소수와 무한소수가 아니라 왜 순환소수 일까요?

 

유리수 중 정수가 아닌 유리수에는 소수가 있는데, 여기에는 유한소수와 순환소수만 들어갑니다.

무한소수는 순환소수와 순환하지 않는 무한소수, 이렇게 두 가지가 있는데요.

순환하지 않는 무한소수는 무리수입니다.

 

유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 하구요.

이제 그림을 보면 정리가 잘 될 것 같습니다.

유리수에 대한 개념이 잡히셨나요?

유리수는 간단히 말하면 분수꼴로 나타낼 수 있는 수 입니다.

엄밀히 말하자면, 유리수는 분수꼴로 나타낸 후, 다음 세 가지 조건을 만족해야합니다.

1. 분모는 0이 아닐 것.

2. 분자와 분모는 모두 정수로 나타낼 것.

3. 분모와 분자는 서로소 일 것. (기약분수로 나타내야 합니다.)

 

유한소수는 0.2, -0.74 등과 같이 소수점 아래 0이 아닌 수가 유한개인 소수입니다.

무한소수는 1나누기3의 결과인 0.33333...처럼 소수점 아래 0이 아닌 수가 무한인 소수입니다.

무한소수 중에는 𝝅 =3.1415926535.... 처럼 소수점아래 수가 무한인데다 반복되지 않는 것도 있습니다.

이런 수를 순환하지 않는 무한소수라 하고 무리수라고 합니다.

 

무한소수는 유리수인 순환소수와 무리수, 이렇게 두 가지가 있는거죠.

 

0.3333....과 같이 소수점아래 수가 반복되는 경우 순환소수라 하고, 이 때 반복되는 3을 순환마디라고 합니다.

예를들어 0.23232323...과 같은 수는 순환소수이고, 순환마디는 23이 됩니다.

순환소수의 표현도 새로 나와서 중요한데요.

순환소수는 점을 찍어서 간단하게 표현합니다.

순환마디가 3개 이상인 경우에는 순환마디의 양 끝에만 점을 찍습니다.

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용어는 모두 살펴봤으니 본격적으로 3가지 계산을 배워봅시다.

 

1. 분수를 보고 유한소수인지 순환소수인지 구분하기

1/2는 0.5라는 유한소수인데, 1/3은 0.333... 이라는 무한소수입니다.

빠르게 구별하는 방법을 알아봅시다.

아래 3단계 과정을 암기(숙달)해주세요.

약분 → 분모 소인수분해 → 분모의 소인수가 2나 5뿐이면 유한소수

예를 들어 3/15라는 수는 3으로 약분하면 1/5, 분모의 소인수가 5뿐이므로 유한소수입니다.

 

2. 분수를 소수로 고치기

분수를 소수로 고치는 방법은 간단합니다. 직접 나누면 되요.

그런데, 유한소수인 경우에는 보다 빠른 방법이 있습니다.

약분 → 분모 소인수분해  → 분모의 2와 5개수 같게 만들기

예를 들어 3/40을 소수로 고친다면

약분은 할 게 없고, 분모를 소인수분해 하면 2의 세제곱 곱하기 5니까

2는 3개, 5는 1개 곱해져있습니다.

개수가 같아지려면 5가 2개 더 필요합니다.

그래서 분자 분모에 5의 제곱을 곱해주면,

분자는 3곱하기 25라서 75가 되고

분모는 2의 세제곱 곱하기 5의 세제곱이라서 10의 세제곱! 1000이 됩니다.

1000분의 75니까 0.075로 고칠 수 있겠네요.

글로 보면 어렵지만, 막상 해보거나 설명을 들으면 쉽습니다.

 

3. 유한소수를 분수로 고치기

분모에 10의 거듭제곱을 쓰는데, 소수점아래 자리수만큼 0을 써주면 됩니다.

예를 들어 0.75라면 소수점아래 수가 2개니까

분모에 100(0두개)을 쓰고 분자에 남은 수 75

따라서 75/100이 되고 약분해서 3/4까지 써주시면 됩니다.

 

4. 순환소수를 분수로 빠르게 고치기

순환소수를 분수로 고치는 방법은 2가지가 있습니다.

첫번째 방법은 아래의 3단계를 익히고 연습하면 됩니다.

순환소수를 x로 → 소수점을 순환마디 뒤로, 앞으로  → 변끼리 빼고 정리

예를 들어 0.232323...을 분수로 고치려면 다음과 같이 합니다.

첫째줄 순환소수를 x로 놓고

둘째줄 양변에 100을 곱해서 소수점을 순환마디 뒤로 보내고

셋째줄 그대로 써서 소수점을 순환마디 앞에 둔상태로 둡니다.

넷째줄 둘째줄과 셋째줄을 변끼리 뺍니다.

마지막줄 양변을 99로 나눠주면 끝!

 

두번째 방법은 비둘기 공식인데... (비둘기집 원리 아닙니다!)

글로 보면 상당히 어려워 보일 수 있습니다.

영상으로 보면 참 좋을텐데...

그래도 한 번 설명해보겠습니다.

소수점 아래의 숫자 개수를 비둘기라고 하겠습니다. 위의 0.232323... 에서는 2와 3 두마리네요.

순환소수의 간단한 표현을 해주면 점 2개가 2와 3위에 찍히는데 이걸 콩이라고 합시다. 콩이 2개네요.

비둘기가 콩을 먹으면 '구'하고 소리를 냅니다. 두마리니까 '구구'! 이걸 분모에 써줍니다.

그리고 순환소수의 간단한 표현에 있는 숫자들(23)을 분자에 써주면 끝!

 

다른 문제를 하나 더 풀어보겠습니다.

이 문제를 비둘기 공식으로 풀면

소수점아래 수는 2, 3, 4 로 비둘기 3마리, 콩은 2개.

2마리는 콩을 먹어서 '구구' 한마리는 못먹어서'꽁', 분모에 990을 적어줍니다.

순환소수 표현에 있는 0이 아닌 수는 234 여기에서 콩이 없는 숫자들은 빼고 분자에 씁니다. 232를 적어줍니다.

 

유리수와 순환소수! 공부 좀 되셨나요?

 

 

 

 

퀴즈1 정답) 가분수

퀴즈2 정답) 1은 자연수, +1은 양의 정수