[고2/고3 수학2] 2. 함수의 연속

함수의 연속을 배우기 전에!

두 가지 개념을 확실히 알고 있어야 합니다.

만약 모르고 있다면 당장 돌아가세요!

 

우선 지난시간에 배운 함수의 극한을 확실하게 알고 있어야 합니다. (중요!)

그리고 중학교 1, 2, 3학년, 고등학교 1학년 때 배웠던 함수들의 그래프를 그릴 수 있어야 합니다.

 

어떤 함수냐하면, 정비례, 반비례, 일차함수, 이차함수, 분수함수, 무리함수, 절댓값 기호가 포함된 함수!

이 함수들을 그리지 못한다면 반드시 그릴 수 있을 때까지 다시 공부하고 보셔야 합니다.

---

함수의 연속은 함수 f(x)가 x=a에서 정의되어 있고 x=a에서 극한값이 존재할 때,

함숫값과 극한값이 같으면 연속입니다.

 

쉽게 말하면 그냥 이어진겁니다. 함수가 어떤 값에서 끊어지지 않으면 그 값에서 연속입니다.

문제를 풀 때 위의 식은 자주 사용되기 때문에 꼭 알아두어야 합니다.

 

그래프로 주면 실력은 필요없고 시력으로 풀어주면 됩니다. 연속인지 불연속인지 보이겠죠.

그런데, 문제는 대부분 식으로 주기 때문에 그래프를 못그리면 풀 수 없게 됩니다.

---

용어를 하나 알아보겠습니다. 구간!

구간은 열린구간, 닫힌구간, 반닫힌구간, 반열린구간 등이 있습니다.

 

열린구간은 (a, b) 이런식으로 표현하는데 a보다 크고 b보다 작은 것을 말합니다.

닫힌구간은 [a, b] 이런식으로 표현하는데 a보다 크거나 같고, b보다 작거나 같은 것을 말합니다.

반닫힌구간 또는 반열린구간은 한쪽은 열려있고(포함안함), 다른쪽은 닫혀있는(포함함) 경우입니다.

 

용어 어려워보이죠?

그냥... 범위를 말하는 겁니다.

2≤x≤3 이렇게 쓰던 걸 [2, 3]으로 쓴다고 생각해주시면 됩니다. (집합..어쩌구.. 태클 사양합니다)

x≤3은 (-∞, 3]으로 표현합니다.

여기까지 읽고 이해가 안 갈수도 있는데요. 혹시 그렇다면 영상을 보거나 선생님께 질문해주세요.

---

연속함수는 함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에 대하여 연속일 때 f(x)는 그 구간에서 연속한다! 라고 합니다.

예를 들어 f(x)=1/x 라는 함수는 열린구간 (0, ∞)에서 연속입니다.

 

지난시간에 리미트의 성질 5가지를 배웠습니다.

뭐였죠?

 

리미트는 실수배, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 이렇게 5가지가 가능하다! 였습니다.

연속함수 역시 실수배, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 가능합니다.

(가능하지 않은 것도 있나? 있습니다. 미분('), 적분(∫), 합(∑)은 곱셈, 나눗셈이 불가합니다.)

 

쉽게 말해서 덧셈이 가능하다는 이야기는

f(x)가 연속함수이고 g(x)가 연속함수라면 f(x)+g(x)라는 함수도 연속함수입니다.

 

함수의 연속은 내용이 없네요!? 시험은 어떻게 나옵니까!?

함수의 연속에서 출제되는 문제들은 함수의 극한에서 풀었던 문제들과 거의 같은 문제들입니다.

미정계수 구하는 문제들이 많습니다. 물론 연속, 불연속 조사하는 문제도 나옵니다.

---

최대 최소의 정리는 닫힌구간에서 연속인 함수는 그 구간에서 반드시 최대, 최솟값을 갖는다는 정리입니다.

열린구간, 반닫힌구간, 불연속함수, 이런 조건이 하나라도 있다면 최대나 최소가 없을 수 있습니다.

 

보통은 최대 최소의 정리를 아는지 물어보는 것이 아니라 그냥 최댓값, 최솟값을 구하라고 합니다.

그러면 양 끝값이나 2차함수의 꼭짓점(포함되는 경우만), 절댓값 꺾인 점, 등등

중에서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값입니다.

 

사잇값의 정리는 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f(a)≠f(b)이면 f(a)와 f(b)사이의 임의의 값 k에 대하여

f(c)=k 인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.

인데요. 그냥 어렵습니다. 길고 어렵습니다.

5번쯤 읽어보세요. (이해가 안 갈 수 있습니다. 인정!)

 

사잇값의 정리는 꼭!

설명을 정말 잘하는 선생님께 듣기를 추천합니다.

(영상이나 직접 질문을 이용하시길 바랍니다)

 

어떤 선생님에게 사잇값의 정리를 들었는데 한 번에 이해가 가더라! 또는 쉽더라! 하면

그 선생님을 대입까지 멘토로 삼으시면 됩니다.

 

사잇값의 정리는 시험에 어떻게 나오나요?

증명하기, 빈 칸 넣기, 근이 있는지 확인하기

이런 정도로 나오는데요.

이해는 안 갔지만 답은 맞추고 싶다! 그러면..

 

글로 간단하게 설명하자면

문제에 주어진 양 끝값을 a, b라 하면

문제에 주어진 식에 a넣고 나온 값 쓰고 f(a)

b넣고 나온 값 쓰면 f(b) 답이 보일 수 있습니다.

---

함수의 극한과 연속이 끝났습니다.

이제 미분과 적분만 배우면 수학2라는 책은 끝이네요.

 

https://youtu.be/YDPnTG5bhk8