[고2/고3 수학2] 5. 도함수의 활용(2) - 증가, 감소, 극대, 극소

도함수의 활용 (2)에서는

함수의 증가, 감소, 극대, 극소의 개념을 잡고,

증감표를 이용하여 함수의 그래프의 개형을 그려봅니다.

그리고, 함수의 최댓값과 최솟값을 구할 줄 알면 됩니다.

 

그런데 말입니다.

 

수학2에서 증감표를 배우는 것이 나쁜 건 아니지만, 효율이 떨어지는 편입니다.

다항함수만 나오기 때문에

미적분을 배우지 않을 학생이라면 증감표는 사실상 의미가 없습니다.

다항함수의 개형을 아는 것이 오히려 문제 풀이에 유리합니다.

 

증감표의 목적은 개형을 그리는 것인데, 개형만 배우는 것이 더 쉽다는 이야기입니다.

 

증감표를 익히고 개형을 그리는 연습을 할 것인지,

그래프의 개형만 익힐지는 배우는 쪽에서 선택하면 되겠습니다.

(이 페이지에는 예제가 없기 때문에 아무 교재(=교과서?)라도 함께 보면서 공부하는 것이 좋습니다.)

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우선 함수의 증가, 감소, 극대, 극소의 개념을 살펴보겠습니다.

이 부분은 글로 이하기에는 무리가 있습니다.

가급적 설명을 잘하는 선생님께 질문하거나, 영상을 보는 것을 추천합니다.

 

함수의 증가는 x₁<x₂일 때, f(x₁)<f(x₂)이면 함수 f(x)는 이 구간에서 증가한다고 합니다.

함수의 감소는 x₁<x₂일 때, f(x₁)>f(x₂)이면 함수 f(x)는 이 구간에서 감소한다고 합니다.

함수의 극대는 열린구간의 모든 x에 대하여 f(x)≤f(a)일 때, x=a에서 극대라고 합니다.

함수의 극소는 열린구간의 모든 x에 대하여 f(x)≥f(a)일 때, x=a에서 극소라고 합니다.

 

역시 이해가 잘 안가죠?

그러면 다음 그림으로 이해를 해봅시다.

 

점 1개를 기준으로 생각하면 됩니다.

해당하는 점에서 증가하고 있는지, 감소하고 있는지, 양쪽 다 작은지, 양쪽 다 큰지를 확인하는거죠.

증가, 감소, 극대, 극소

그런데 이걸 더 편리하게 판단할 수 있는 방법이 바로 미분입니다.

미분은 접선의 기울기이기 때문에

 

증가하는 점에서 접선의 기울기는 양수

감소하는 점에서 접선의 기울기는 양수

극대나 극소일 때 접선의 기울기는 0이 됩니다.

 

정리해보면

f'(x)>0이면 증가

f'(x)<0이면 감소

f'(x)=0이면 극대나 극소일 가능성이 높습니다. (아닐 수도 있습니다.)

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극대와 극소를 구분하기 위해서는 f'(x)의 좌우도 살펴야 합니다.

f'(x)가 양수→0→음수로 변하면 0일때의 x에서 극대

f'(x)가 음수→0→양수로 변하면 0일때의 x에서 극소

가 됩니다.

 

f'(x)가 양수→0→양수일때는 증가

f'(x)가 음수→0→음수일때는 감소입니다.

 

다소 어려울 수 있는 부분이기 때문에

선생님의 설명이나 영상강의가 더 나을 수 있습니다.

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증감표를 이용하여 그래프의 개형을 그리는 방법을 알아보겠습니다.

1) 그리려는 함수 f(x)를 미분해서 도함수 f'(x)=0이 되는 x값을 구합니다.

2) 가로로는 그 값의 좌우까지 표시할 수 있도록 표를 그려줍니다.

3) 세로로는 x, f(x), f'(x)를 표시하고, 다음 그림과 같이 그려줍니다.

 

예를 들면 다음 그림과 같습니다.

다항함수의 그래프의 개형은 다음 기회에 별도로 알아보도록 하겠습니다!

그래프의 개형을 알고 있다면 최댓값, 최솟값, 극값등을 구하기가 훨씬 수월합니다.

선생님들께 적극적으로 질문하도록 합시다!

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지난 시간 도함수의 활용(1)에서 '최대 최소의 정리'를 배웠습니다.

연속함수가 닫힌구간에서 최대, 최솟값을 반드시 갖는다는 내용인데요.

 

닫힌구간에서 최댓값은 양끝값 ,극값(극댓값, 극솟값) 중 가장 큰 값이고,

최솟값은 그 중 가장 작은 값입니다.

앞으로는 최댓값, 최솟값 구하기가 조금 더 수월해지겠네요.

 

예를 들어 구간[0, 4]에서 함수 f(x)=x³-6x²+9x-2의 최댓값과 최솟값을 구해보면,

f'(x)=3x²-12x+9

3x²-12x+9=0

x²-4x+3=0

(x-1)(x-3)=0

x=1 또는 x=3에서 극값을 갖게 됩니다.

따라서,

f(0)=-2, f(1)=2, f(3)=-2, f(4)=2 중

가장 큰 값 2가 최댓값, 가장 작은 값 -2가 최솟값입니다.

이 단원은 개념도 중요하지만, 문제를 많이 풀어보는 것이 중요합니다.

유형별로 문제를 최대한 많이 풀고 연습하도록 합시다!