[중1-1 수학] 2. 최대공약수와 최소공배수

우리는 공약수와 공배수에 대해 이미 알고 있습니다.

우선 용어들을 살펴보겠습니다.

 

약수는 나누어 떨어지도록 만드는 수.

공약수는 두 개 이상의 자연수의 공통된 약수를 말합니다.

공배수는 두 개 이상의 자연수의 공통된 배수를 말합니다.

 

최대공약수는 공약수 중 가장 큰 수 입니다.

최소공배수는 공배수 중 가장 작은 수 입니다.

서로소는 공약수가 1뿐인 두 수를 말합니다.

예) 4와 15는 서로소입니다. (4는 약수가 1, 2, 4, 15는 약수가 1, 3, 5, 15이기 때문입니다.)

 

최대공약수와 최소공배수는 다음의 성질을 갖습니다.

최대공약수의 성질: 두 개 이상의 자연수의 공약수는 그 수들의 최대공약수의 약수이다.

최소공배수의 성질: 두 개 이상의 자연수의 공배수는 그 수들의 최소공배수의 배수이다.

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최대공약수와 최소공배수라는 단원에서는 용어를 이해하는 것도 중요하지만,

계산을 빠르게 하는 것이 더 중요합니다.

 

다음 퀴즈를 5초 안에 맞추도록 해봅시다.

 

Quiz 1) 15와 18의 최대공약수는?

Quiz 2) 15와 18의 최소공배수는?

(정답은 마지막에...)

 

최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법은 2가지가 있습니다.

나눗셈을 이용하는 방법과 소인수분해를 이용하는 방법입니다.

1) 나눗셈을 이용하는 방법

2) 소인수분해를 이용하는 방법

최대공약수와 최소공배수는 연습이 생명입니다.

많은 문제를 풀어서 빨라지도록 노력해야 합니다.

앞으로 하게 될 수학 공부에서 튼튼한 기초를 만들어주는 단원이죠.

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충분히 연습되었다면 활용문제를 풀어주면 됩니다.

 

최대공약수의 활용 문제는 '최대한', '되도록 많이', '가장 큰', 등의 표현이 많이 등장합니다.

 

예를들어 

가로의 길이가 80cm, 세로의 길이가 120cm인 직사각형 모양의 바닥에 크기가 같은 정사각형 모양의 타일을

빈틈없이 붙여서 채우려고 한다. 되도록 큰 타일을 사용하려고 할 때, 필요한 타일은 몇 장인가?

 

80cm와 120cm의 최대(되도록 큰 타일)공약수를 찾는 문제입니다.

 

80과 120의 최대공약수를 구해보면 40으로 나눌 수 있기 때문에 40.

그런데 여기에서 구한 40은 정사각형 타일의 한 변의 길이 40cm입니다.

따라서 가로로 2장(80÷40), 세로로 3장(120÷40)이 필요하기 때문에

2×3=6장이 필요합니다.

 

최소공배수의 활용 문제는 '최소한', '되도록 적게', '가장 작은, '처음으로 다시 만나는' 등의 표현이 많이 등장합니다.

 

예를들어

가로의 길이가 16cm, 세로의 길이가 18cm, 높이가 20cm인 벽돌을 빈틈없이 쌓아 정육면체 모양을 만들려고 한다.

벽돌을 가능한한 적게 사용하려고 할 때, 정육면체의 한 모서리의 길이를 구하여라.

 

16cm과 18cm과 20cm의 최소(가능한한 적게 사용)공배수를 찾는 문제입니다.

 

16과 18과 20의 최소공배수를 구해보면 720입니다.

16의 45배가 720이니까 가로로 45장을 쌓아야한다는 이야기죠.

 

모서리의 길이만 구하면 되기 때문에 정답은 720cm이고,

벽돌의 개수를 구하라고 하면

가로 720÷16=45(장)

세로 720÷18=40(장)

높이 720÷20=36(장)

따라서 45×40×36=64800장이 필요합니다.

 

최대공약수와 최소공배수는 개념의 이해도 중요하지만,

많은 문제를 풀어보는 것이 중요합니다.

'최대공약수, 최소공배수 문제는 이제 쉬운데!'라는 생각이 들 때까지 풀어야 합니다.

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Quiz 1 정답 ) 3

Quiz 2 정답) 90