[고1 고등수학하] 2. 집합의 연산

지난시간에는 집합의 뜻과 표현을 배웠는데요.

용어들과 기호들을 충분히 익혀야 집합의 연산을 할 수 있습니다.

 

이 단원에서도 몇 가지 생소한 용어들을 배우고 개념을 정리한 후에

집합의 연산(계산)을 할 수 있으면 됩니다.

 

새로나오는 용어를 살펴보고 개념을 이해해보도록 하겠습니다.

 

합집합, 교집합, 차집합, 여집합,

서로소, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 드모르간의 법칙.

---

집합의 기본 연산은 4가지가 있습니다.

 

합집합은 A∪B로 표현하고 A 또는 B에 속하는 원소들로 이루어진 집합입니다.

A{1, 2}, B={2, 3, 4}라면 A∪B={1, 2, 3, 4}가 되는겁니다.

 

교집합은 A∩B로 표현하고 A와 B에 동시에 속하는 원소들로 이루어진 집합입니다.

A{1, 2}, B={2, 3, 4}라면 A∩B={2}가 되는겁니다.

 

차집합은 A-B로 표현하고 A에는 속하고, B에는 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합입니다.

A{1, 2}, B={2, 3, 4}라면 A-B={1}가 되는겁니다.

 

여집합은 아래 그림과 같이 표현하고, 반드시 전체집합이 주어져야 합니다.

전체집합의 원소 중 A에 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합입니다.

(전체집합은 일반적으로 U로 표현하며 Universal set의 맨 앞 글자입니다)

U={1, 2, 3, 4, 5}, A={1, 3, 5}라면 (A의 여집합)={2, 4}가 됩니다.

이 네 가지가 집합의 기본 연산입니다.

 

이번에는 서로소를 알아봅시다.

서로소는 서로素라고 하는데요. 소는 '본래의, 원래의' 이런 의미를 갖고 있습니다.

 

쉽게 말해서 서로 오리지널! 각자 따로! 이런 의미로 생각하면 좋겠네요.

 

중1과정에서 자연수의 서로소를 배운 적이 있는데요.

두 수가 공약수가 하나도 없을 때, 각자 그냥 따로따로 느낌. 이때 서로소라고 하죠

 

집합에서 서로소도 비슷합니다.

두 집합의 교집합이 공집합! 다시 말해서 겹치는게 없을 때 서로소라고 합니다.

 

집합의 연산은 정수나 유리수의 덧셈, 곱셈과 비슷하게

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 가능합니다.

 

교환법칙은 A∪B=B∪A, A∩B=B∩A처럼 앞 뒤 바꿔도 같다는 법칙입니다.

결합법칙은 (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C)처럼 연산 순서를 달리 하도록 결합이 가능하다는 법칙입니다. 

분배법칙은 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)처럼 분배가 가능하다는 법칙입니다.

 

이 중 분배법칙을 가장 열심히 연습해야 합니다. 시험에서 발목을 잡히기 싫다면 말입니다.

 

이 외에도 흡수법칙이라던지 공집합의 여집합은 전체집합이라던지 하는 성질들이 많은데,

이런 성질들은 그냥 읽어보거나 문제 몇 번 푸는 것으로 충분히 익혀지기 때문에

따로 설명하지는 않겠습니다.

집합의 연산의 여러 가지 성질

다만 차집합의 성질은 매우 중요하기 때문에 반드시 암기! 숙지! 해두셔야겠습니다.

 

연산 법칙에서 가장 중요한 드모르간의 법칙을 알아봅시다.

드모르간의 법칙은 영국의 수학자 오거스터스 드 모건(Augustus De Morgan)이 정리하여

그의 이름을 사용하고 있습니다.

 

드모르간의 법칙은 암기하는 것이 가장 좋은데요.

이해를 하면 암기가 더 쉬우니까 이해를 하는 것도 좋습니다.

설명은 영상을 보거나 선생님께 질문하는 것이 좋겠네요.

글로 설명하면 괜히 복잡해 보일 수 있습니다.

드모르간의 법칙

 

마지막으로 유한집합의 원소의 개수를 정리해보도록 하겠습니다.

 

집합의 원소의 개수는 n(A)과 같이 표현합니다.A={a, b, c, d}라면 n(A)=4가 됩니다.n(ф)=0이겠죠.

 

유한 집합에서 합집합, 교집합, 차집합, 여집합의 원소의 개수를 표현할 줄 알아야 합니다.

자주 나오는 순서대로 적어놓았습니다.

다 알면 좋겠지만, 특히 위의 2개는 정말 중요한 공식입니다. 꼭 알아둡시다!

A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5}일 때, n(A∪B)=4+3-2=5가 되겠죠.

 

어떤 단원은 개념의 이해가 중요하고, 어떤 단원은 문제 풀이 연습이 중요합니다.이 단원은 문제 풀이 연습이 매우 중요한 단원이므로 문제를 많이 풀어보시길 바랍니다.연산 법칙 중 분배법칙, 드모르간의 법칙, 차집합의 성질은 절대 잊어서는 안됩니다!!!