[고1 고등수학하] 5. 유리식과 유리함수 (1)유리식 (feat. 번분수 초간단)

유리식과 유리식은 3개의 소단원으로 분류하면 좋습니다.

유리식, 비례식, 유리함수. 이렇게 3가지를 이해하면 되죠.

 

유리식은 정의과 4가지 형태를 알아두면 됩니다.

 

유리식이 뭔가요?

유리식은 영어로 rational expression인데, rational을 '비율'로 해석하지 않고,

'이치에 맞는'으로 해석하는 바람에 한자로 有理式이 되었다고 하죠.

 

유리식은 비(ratio)가 있는 식입니다.

유리처럼... 깨지는...

분모와 분자로 쪼개서 표현할 수 있는 식이죠.

 

두 다항식 A, B(B≠0)에 대하여 A/B의 분수꼴로 나타낼 수 있는 식을 유리식이라고 합니다.

특히 B가 상수라면 다항식이 되는데, 다항식도 유리식입니다.

B가 상수가 아닌 다항식이라면 분수식이라고 하기도 하죠.

 

유리수 분수꼴로 나타낼 수 있는 수인데,

다음 세가지 조건을 만족해야 합니다.

 

1) 분자, 분모 모두 정수일 것.

2) 분모는 0이 아닐 것.

3) 분자, 분모는 서로소일 것.

 

유리식 역시 위의 세 조건을 만족해야 합니다.

정수라는 단어만 다항식으로 고쳐주면 되겠네요.

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유리식에서는 무엇을 할 수 있어야 합니까?

 

유리식에서는 다음을 할 수 있어야 합니다.

1) 약분, 통분

2) 대분수 만들기 (분리형)

3) 결합법칙, 교환법칙 사용하기 (결합형)

4) 번분수 다루기

5) 부분분수 다루기

 

약분과 통분은 초등과정에서 충분히 배웠을테니 넘어가겠습니다.

 

대분수 역시 초등과정에서 충분히 배웠으리라 믿습니다.

가분수의 형태에서 분자를 분모로 나누고,

몫을 앞에, 나머지를 분자 자리에 써주면 되는거죠.

 

결합법칙과 교환법칙은 중등과정에서 배우게 됩니다.

1+7+9를 할 때는 1+9+7=(1+9)+7=10+7=17 이런식입니다.

 

가분수 여러 개를 더할 때,

우선 대분수 꼴로 만들어주고,

계산하기 편리한 식부터 계산하는 것이 편하다는겁니다.

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번분수가 뭐죠?

번분수를 배워봅시다.

번분수(繁分數)는 Complex fraction이라 합니다.

분수안에 분수! 분수가 분자 분모에 또 들어가는 형태입니다.

 

크게 두가지 형태가 있는데,

연습을 잘 해두는 것이 좋습니다. (연습! 연습!)

 

첫번째 형태는 분자에 분수, 분모에 분수가 있는 모양입니다.

분수는 나눗셈이기 때문에 분자 나누기 분모로 계산하고

나누는 수를 곱하기 역수로 고쳐서 계산해주면 됩니다.

 

하지만, 매번 고치려면 불편하고 시간도 조금 걸립니다.

그래서 안쪽의 곱을 분모에, 바깥쪽의 곱을 분자에 쓰는 방법으로 합니다.

번분수의 첫번째 형태

 

두번째 형태는 분모에 분수가 여러번 반복되는 형태입니다.

이 경우 가장 아래쪽 숫자부터 위로 한 칸씩 건너 뛰면서 곱해주면 됩니다.

가장 위에 있는 분수 막대기를 남겨두고,

한 칸씩 건너뛰면서 위쪽으로 곱해주면 매우 간단해집니다.

번분수의 두번째 형태

 

역시 강의를 들으면 편한데,

글로 표현하니 어려워보일수도 있겠네요.

아무튼! 번분수를 빠르게 다룰 수 있도록 연습합시다!

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부분분수?

다음은 부분분수입니다.

부분분수는 분모에 차가 간단한 두 수의 곱이 있을 경우 사용합니다.

쉽게 이야기 하면 곱으로 이루어진 분모를 뜯어서 두 분수의 합으로 표현하는 겁니다.

 

이 식을 어떤 용도로 사용하느냐...

다음과 같은 문제를 풀 때 사용됩니다.

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유리식의 설명이 길어졌는데, 요약하자면 간단합니다.

분수식이고, 통분, 약분, 대분수꼴, 결합법칙, 교환법칙, 번분수, 부분분수를

잘 다룰 수 있으면 됩니다.

특히 번분수와 부분분수가 새로 나왔으니 더욱 중요하겠죠!

 

설명이 길어져서

비례식(링크)과 유리함수는 다음에 하겠습니다!