[고1 고등수학하] 3. 명제_2 절대부등식

(수)식에는 크게 세 가지가 있습니다.

수식: 등호 또는 부등호를 사용하지 않은 식, 등식, 부등식

 

등식은 등호(=)를 사용한 식인데 세 가지로 나눕니다.

항등식: 미지수(x)의 값에 관계없이 항상 참인 등식.

방정식: 미지수(x)의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 등식.

거짓인 등식: 미지수(x)의 값에 관계없이 항상 거짓인 등식.

 

우리가 배우는 교육과정에서는 항등식과 방정식만 잘 알면 됩니다.

 

부등식은 부등호(>, <, ≥, ≤)를 사용한 식인데 역시 세 가지로 나눕니다.

절대부등식: 미지수(x)의 값에 관계없이 항상 참인 부등식.

(조건)부등식: 미지수(x)의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 부등식.

거짓인 부등식: 미지수(x)의 값에 관계없이 항상 거짓인 부등식.

 

항등식과 방정식은 중학교 1학년 때부터 배웠으니 다들 아실테고,

(조건)부등식은 보통 부등식이라고 하는데 중학교 2학년 때부터 배웠습니다.

이제 절대부등식만 배우면 되겠네요.

 

서론이 너무 길었습니다.

 

이 단원에서는 절대부등식의 의미를 알고 증명할 줄 알면 됩니다.

그리고, 여러 가지 절대부등식을 해결하면 됩니다.

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절대부등식은 미지수(x)의 값에 관계없이 항상 참인 부등식입니다.

 

부등식이 항상 참인 경우 증명하는 방법을 알아볼 때 다음 세가지 식을 주로 사용합니다.

맨 위의 식은 무슨 뜻이냐 하면, 앞에 수에서 뒤에 수를 뺐는데 양수가 되면, 앞의 수가 더 크다는 말입니다.

두 번째 식과 세 번째 식은 a, b 모두 양수일 때만 사용이 가능합니다.

 

이 외에도 알면 좋은 식들이 몇 가지 더 있긴 하지만,

다소 어려운 과정이므로 과감히 생략하겠습니다.

(심화과정을 만들까요?)

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절대부등식에는 여러가지 모양이 있습니다.

고1 과정에서는 3가지 모양만 잘 알아두면 됩니다.

 

첫째, 완전제곱식≥0

둘째, 산술평균과 기하평균의 관계

셋째, 코시-슈바르츠의 부등식

 

완전제곱식은 항상 0보다 크거나 같습니다.

따라서, 다음 부등식이 항상 참이라는 걸 알 수 있죠.

학교 시험에서는 첫째줄처럼 노골적으로 보여주지 않겠죠.

주로 둘째줄의 식처럼 주거나 2, 1조차 문자로 바꿔서 줍니다.

 

산술평균과 기하평균의 관계!

산술평균과 기하평균

좌변은 산술평균(우리가 아는 그 평균! 두 개 더해서 반 나누는 것)이고

우변은 기하평균(곱해서 루트)입니다.

산술평균은 기하평균보다 항상 크거나 같습니다.

증명은 교과서나 문제집에 많으니까 그거 봅시다. (전 어려운 건 싫어합니다. ㅋ)

 

그래서 다음 식을 암기해버리는 것이 가장 좋습니다.

조건이 있습니다. a, b는 모두 양수이어야 합니다. 

그리고 a, b가 같으면 등호가 성립하게 됩니다.

이 공식을 이용한 문제가 시험에 나올 확률은 99.9%정도 됩니다.

 

코시-슈바르츠의 부등식!

프랑스의 수학자 코시(Cauchy, Augustin-Louis)가 발견하고, 독일의 수학자 슈바르츠(Schwartz, Hermann Amandus)가 정리한 부등식이라서 저런 이름이 되었습니다.

 

고1과정에서 배우는 코시-슈바르츠의 부등식은 일부분인데,

그냥 공식 외우고, 시험 볼 때 대입해서 답쓰면 끝입니다.

나중에 이걸 삼각함수의 최대, 최소에서 활용할 정도면 이미 공부 잘하는 학생이고,

대부분의 학생들은 이번에 보고 2학기 중간고사 끝나면 기억 속에서 지우게 됩니다.

코시-슈바르츠의 부등식

a, b, c까지 있는 식도 가끔 나옵니다. 상위권을 바라본다면 3개짜리도 연습해둡시다!