[고1 고등수학하] 5. 유리식과 유리함수 (3) 유리함수

지난 단원인

유리식(링크)과 비례식(링크)에 대해 충분히 이해를 했다면,

유리함수를 배우기 좋습니다.

(이해가 안됐다면 어려운;;)

 

유리함수가 뭔가요?

유리함수는

y=f(x)=(유리식)일 때, 유리함수라 합니다.

f(x)가 다항식이라면 다항함수가 되는데,

다항함수도 유리함수에 포함됩니다.

 

여기서 주로 배우게 되는 것은

유리함수라기보다는 분수함수입니다.

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단원은 유리함수인데,

유리식(링크)은 배웠으니, 함수만 배우면 되겠네요.

 

함수! 이것만 알면 끝!

함수에서 자주 등장하는 내용들을 미리 알고 있어야 합니다.

 

정의역, 공역, 치역, 그래프 그리기,

점(p, q)이 함수 y=f(x)를 지날 때, 대입하기,

함수와 함수가 만날 때, 연립하기,

두 함수의 교점의 x좌표는 연립방정식의 해,

역함수, 합성함수 구하기, 평행이동하기,

x축대칭, y축대칭, 원점대칭, y=x대칭 구하기,

 

이정도만 알고 있으면 함수는 걱정 없습니다.

 

일차함수에서 가장 중요한 것은?

기울기

 

이차함수에서 가장 중요한 것은?

꼭짓점

 

유리함수에서 가장 중요한 것은?

점근선

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유리함수를 그려봅시다.

y=1/x는 빨간색, y=-1/x는 초록색입니다.

여기서 x축 방향으로 한없이 가더라도 그래프는 0이 되지 않는데,

x축을 점근선이라 합니다. x축은 방정식으로 y=0으로 쓰죠.

 

y축도 마찬가지! 점근선이 됩니다. y축은 방정식으로 x=0으로 씁니다.

 

평행이동을 시켜봅시다.

x축방향으로 1만큼, y축방향으로 2만큼 평행이동 시키면

다음 그림과 같아집니다.

이때 점근선은 x=1(아까 y축에 해당되었던 부분)

y=2(아까 x축에 해당되었던 부분)

이렇게 되겠죠.

함수는 그래프가 중요하기 때문에

글로 설명하기에는 어려움이 좀 있네요.

 

저는 교과서나 개념서가 아니기 때문에

시험에 주로 출제되는 유형에 대해서만 언급하겠습니다.

 

유리함수에서는 정의역, 치역을 묻거나

점근선을 묻거나

평행이동한 함수를 구하거나

역함수를 구하거나

유리함수를 대칭이 되도록하는 직선을 구합니다.

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다음 함수에 대해 분석을 해봅시다.

f(x)=1/x의 함수를 x축방향으로 2만큼, y축방향으로 -3만큼 평행이동한 함수입니다.

정의역은 {x|x≠2인 모든 실수}, 치역은 {y|y≠-3인 모든 실수}

점근선은 x=2, y=-3입니다.

역함수를 구하는 식은 다음과 같습니다.

유리함수를 대칭이 되도록 하는 직선의 방정식을 구해봅시다.

유리함수는 x축과 y축에 각각 평행한 직선을 점근선으로 갖는

수직 쌍곡선이기 때문에

 

점근선의 교점을 지나고

기울기가 1인 직선과, 기울기가 -1인 직선에 대칭이 됩니다.

위의 유리함수는

점근선의 교점이 (2, -3)이므로

y=x-5와 y=-x-1의 두 직선에 대칭이 됩니다.

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함수, 특히 함수의 그래프는 글로 이해하기에는 조금 어려울 수 있습니다.

좋은 선생님이나 좋은 영상을 찾아서 설명을 듣도록 해봅시다.