[고1 고등수학하] 7. 경우의 수(순열과 조합) (feat. 확률과 통계 개론)

고등수학하의 마지막 단원이자

확률과통계의 첫단원이나 마찬가지인

경우의 수! 순열과 조합입니다.

 

잡담; 고2~고3때 배우는 확률과 통계라는 책은!

고등과정의 확률과 통계는 다음과 같은 스토리를 갖고 있습니다.

어떤 것을 시행하면

사건이 일어나고

사건에 대한 경우의 수를 구할 수 있고,

경우의 수로 확률을 구할 수 있고

확률이 어떻게 분포하는지 알아보면서 대푯값과 산포도를 구하고

통계적 추정을 하게 됩니다.

 

이 중 시행부터 경우의 수까지 배우는 것이 이 단원입니다.

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시행, 사건, 경우의 수란?

시행이란 표본공간에서 실험을 하는 것인데,

쉽게 말하자면 '주사위를 던지는 것' 정도 됩니다.

 

사건은 실험이나 관찰에 의하여 일어나는 결과입니다.

'주사위가 떨어진 것' 입니다.

 

경우의 수는 사건이 일어날 수 있는 가짓수입니다.

'(주사위의 눈이 짝수인 경우의 수)=3' 와 같은 것입니다.

 

경우의 수는 빠짐없이,

중복되지 않게 직접 세면 충분히 구할 수 있습니다.

 

하지만, 하나하나 세는 것보다

규칙을 찾아서 계산하는 것이 빠르기 때문에

순열과 조합을 이용하기도 하죠.

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합의 법칙과 곱의 법칙

경우의 수에서는 두가지 법칙을 배웁니다.

합의 법칙과 곱의 법칙인데요.

 

합의 법칙이란 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때,

사건 A와 사건 B가 일어나는 경우의 수를 각각 m, n이라 하면

사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 m+n이 되는 것을 말합니다.

 

한 개의 주사위를 던져서 짝수의 눈이 나오거나 동전을 던져서 앞면이 나오는 경우의 수는

2, 4, 6 또는 앞면, 이렇게 4가지 경우가 됩니다.

3가지+1가지=4가지

 

대부분의 문제들은 장문의 줄글로 출제됩니다.

문제를 잘 읽고

또는, ~이거나, ~중에서 라는 해석이 가능하다면

합의 법칙을 사용합니다.

 

예를 들어 식사 3가지와 음료 4가지가 있는 식당에서

식사를 하거나 음료를 마시는 경우의 수를 구하라고 하면

3+4=7가지가 됩니다.

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곱의 법칙이란 두 사건 A, B가 동시에 일어날 때,

사건 A와 사건 B가 일어나는 경우의 수를 각각 m, n이라 하면

사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수는 m×n이 되는 것을 말합니다.

 

주사위 한 개와 동전 한 개를 동시에 던져서

주사위는 짝수, 동전은 앞면이 나오는 경우의 수는

(2, 앞), (4, 앞), (6, 앞) 이렇게 3가지가 됩니다.

3가지×1가지=3가지

 

그리고, 동시에, 거쳐서, ~와, ~과 라는 해석이 가능하다면

곱의 법칙을 사용합니다.

 

예를 들어 식사 3가지와 음료 4가지가 있는 식당에서

식사 한가지와 음료 한가지를 주문하는 경우의 수를 구하라고 하면

3×4=12가지가 됩니다.

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순열이 뭔가요?

순열은 순서대로 나열하는 경우의 수를 구하는 식입니다.

서로 다른 n개에서 r개를 선택하는 순열을 다음과 같이 표현합니다.

순열(Permutation)

읽을 때는 엔피알 이라고 읽으면 됩니다.

P는 Permutation(순열)의 앞글자를 딴 것입니다.

n은 자연수라서 쓴 듯하고,

r은 아시면 제보 좀 해주세요.

 

예를 들어 A, B, C, D 4개의 문자에서

2개를 선택하여 순서대로 나열하는 방법은

다음과 같이 씁니다.

순열에서 n과 r이 같은 경우

계승으로 더 편리하게 나타낼 수 있습니다.

계승은 n!과 같이 나타내고 팩토리얼(=factorial)로 읽습니다.

예를 들어 4!은 4팩토리얼이라 읽고 4×3×2×1=24로 계산합니다.

계승(Factorial)

순열에서 알아두면 좋은 식으로는 다음과 같은 것이 있습니다.

 

기본적인 순열은 여기까지지만,

문제는 다양하게 출제됩니다.

이웃하는 경우, 이웃하지 않는 경우를 비롯하여

사전식 배열이라던지...

많은 유형이 있기 때문에

유형별로 문제를 꼭 풀어보는 것이 좋습니다.

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조합이란?

조합은 뽑는 경우의 수를 구하는 식입니다.

서로 다른 n개에서 r개를 뽑는 경우의 수를 조합이라 하고 다음과 같이 표현합니다.

조합(Combination)

읽을 때는 엔씨알 이라고 읽으면 됩니다.

C는 Combination(조합)의 앞글자를 딴 것입니다. (피자가 먹고 싶다)

 

예를 들어 A, B, C, D 4개의 문자에서

2개를 뽑는 경우의 수는 다음과 같이 씁니다.

조합에서 알아두면 좋은 식으로는

다음과 같은 것이 있습니다.

두 번째 줄에 있는 식은

'확률과 통계'라는 책의

'이항정리'편에서 배우는 것이 더 낫습니다.

 

얼핏 간단해 보이지만,

실제로 문제를 풀어보면 상당히 까다롭고

유형도 굉장히 다양합니다.

 

문제들은 대부분 장문의 줄글로 나오는데,

이것을 식으로 변형하는 것도 쉽지 않습니다.

 

또한 특정한 것을 포함, 제외하는 경우라던지

'적어도'라는 단어가 들어있는 경우에는

다른 식으로 표현할 수 있기 때문에

유형별로 문제를 풀어보는 것이 중요합니다.

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경우의 수, 순열, 조합을 잘하고 싶다면

우선, 책을 많이 읽어서 독해력, 문해력을 길러야 합니다.

둘째, 문장을 식으로 변형하는 연습을 해두는 것이 좋습니다.

셋째, 많은 유형의 문제를 풀어보는 것이 좋습니다.

넷째, 정답/해설의 방식을 적극적으로 수용하는 것이 좋습니다.

 

만약 정답/해설과 다른 방법으로 풀고

틀린 이유를 찾거나, 맞은 이유를 알고 싶다면

상당히 유능한 선생님이 필요합니다.

(그런 선생님을 꼭 만나실겁니다!!)

 

고등학교 1학년 2학기 과정이 끝났습니다.

다음은 수학1을 배우시면 되겠습니다.

(확률과 통계랑 이어지는 것 같은데;;)